美高梅棋牌游戏官网网站 历史解读 美高梅网上平台入口改变数学的命运——《计算进化史》读后感 @阿狸不歌

美高梅网上平台入口改变数学的命运——《计算进化史》读后感 @阿狸不歌



数学史上的第三次危机,是由1897年的突然冲击而出现的,到现今,从整体来看,还没有解决到令人满意的程度。这壹次危机是由于在康托尔的一般集合理论的边缘发现悖论造成的。由于集合概念已渗透到众多的数学分支,并且实际上集合论成了数学的基础,因此集合论中悖论的发现自然地引起了对数学的整个基本结构的有效性的怀疑。

这一节课,小编要讲讲数学,大家认真读。

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背景

 

《计算进化史》 封面

第三次数学危机产生于十九世纪末和二十世纪初,当时正是数学空前兴旺发达的时期。首先是逻辑的数学化,促使了数理逻辑这门学科诞生。

数学,算是所有科目中比较难学的一个科目,估计很多同学对数学是深恶痛绝!

      2+2=4
需要证明吗?可以用计算的方式证明素数有无穷多个吗?计算机可以代替人进行所有的数学证明吗?如果你思考过这些问题又没有明确的答案,那么可以看看这本《计算进化史》。

十九世纪七十年代康托尔创立的集合论是现代数学的基础,也是产生危机的直接来源。十九世纪末,戴德金及皮亚诺对算术及实数理论进行公理化,推动了公理化运动。而公理化运动的最大成就则是希尔伯特在1899年对于初等几何的公理化。

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为了讲清楚第三次数学危机的来龙去脉,我们首先要说明什么是数学危机。一般来说,危机是一种激化的、非解决不可的矛盾。从哲学上来看,矛盾是无处不在的、不可避免的,即便以确定无疑著称的数学也不例外。

你发现没有,对有些人却不一样(我们不一样,不一样!),他们一点都不觉得数学难学,反而觉得它很有趣。为了证明数学的有趣,小编给大家举个例子:

数学与算术的关系

     
数学与计算到底是什么关系?对于不同的人,可能答案会不一样。小学的时候,数学对我来说就是算术(计算),加减乘除、乘法口诀表到混合运算到简单的解方程,所有的东西都是算算算……;到了初中开始学习几何,才开始接触简单的公理、推理、证明;高中时代演绎、归纳成为挑战,而对计算的能力要求已然退居幕后;大学伊始,高数里的无穷∞
、连续、断点、微分、积分对于没有准备的新生而言大多是挥之不去的梦魇。

     
为什么我们的数学学习生涯要这么设计?大概与人对数学的认知过程和方式有关吧。妈妈教我数数是从掰手指头开始的。美索不达米亚人的原始数学考虑的是:如果要把1152000份粮食分给164571个人,每个人能分几份;100步长、100步宽的田产与1000步长、10步宽的田产哪个面积大的问题;埃及人要考虑怎样丈量并切割出来的大石块砌成大金字塔而不会倒塌;秦始皇凿灵渠需要计算大小天平的尺寸来实现“三分入漓、七分入湘”。原始的数学一定是伴随着人类的实际需求而生的。


数学中有大大小小的非常多矛盾,比如正与负、加法与减法、微分与积分、有理数与无理数、实数与虚数等等。但是整个数学发展过程中还有非常多深刻的矛盾,例如有穷与无穷,连续与离散,乃至存在与构造,逻辑与直观,具体物件与抽象物件,概念与计算等等。在整个数学发展的历史上,贯穿着矛盾的斗争与解决。而在矛盾激化到涉及整个数学的基础时,就产生数学危机。

1/3=0.333333……(无限循环)

古典数学的诞生与第一次数学危机

     
大部分人在一生之中也不会真正去去考虑“如果我有无穷的钱,该怎么花光”这样的“实际”问题。只有在生产力发展到一定阶段,有一部分人可以从体力劳动里解放出来,专门思考“一尺之棰,日取其半,万世不竭”这样的问题,才会开始尝试把“数学”对象从对自然物体进行“算术”的过程分离出来,成为抽象而独立的概念。

     
 数学的航船从勾股定理的诞生开始起航,遭遇到了毕达哥拉斯悖论,卷入了第一次数学危机的漩涡🌀,希帕索斯甚至为了无理数的发现付出了生命的代价,最终在欧多克索斯的拯救下得以摆脱危局。经过这次危机的洗礼,希腊人才不得不承认:直觉、经验乃至实验(任何实验都只能得到用有理数表示的量)都不是绝对可靠的,而推理论证才是可靠的,证明的思想在希腊人心中扎根,而计算作为推理构造的工具则应隐藏在幕后。进一步,希腊人发展了逻辑思想并加深了对数学抽象性、理想化等特征的认识。柏拉图强调数学要奠基于逻辑之上,必须要有准确的定义、清楚的假设和严格的证明,他的“应从自明的假设出发进行严格的证明”的思想成为古希腊公理方法的发端。

     
相比之下,包括中国在内的东方古代的数学家们将兴趣集中于计算,忽略了无理数概念所涉及的逻辑难点,固然没有碰上悖论的礁石,却也同时失去了发展数学逻辑体系的契机。中国传统数学以算为中心,却最终没有形成一个严密的公理化演绎体系,可称为憾事。


矛盾的消除,危机的解决,通常给数学带来新的内容,新的进展,甚至引起革命性的变革,这也反映出矛盾斗争是事物发展的历史动力这一基本原理。整个数学的发展史就是矛盾斗争的历史,斗争的结果就是数学领域的发展。

对于这个等式,大家都觉得没问题吧?小编知道你在想:

古典数学统治的负面影响与第二次数学危机

     
古希腊人在解决第一次数学危机的过程中,对无理量建立了严密的理论,并构建了几何学的大厦,而自欧氏之后,代数与几何被严格区分开来,由于几何拥有“严格”数学的基础,这就建立起古典数学中几何对算术(计算)的绝对优势。这种重几何、轻计算的思想使得算术、代数的发展受到极大的限制,以致于到19世纪时“geometrist”(几何学家)还是所有数学家的代名词。

     
实际上当毕达哥拉斯学派发现不可公度量的存在时,他们就已经面临“离散与连续”的难题。事实上,离散量对地球人而言是直观的,而连续、极限、无限这些概念甚至对于很多“考过”高等数学的人来说也是一道大槛。所以地球人花了近两千年去跨这道坎也不足为奇。

   
 计算技术的发展是文艺复兴时期数学的重要成就,主要体现于代数学上的突飞猛进,符号体系的引入使得计算发生了重大的变革。而数学在天文学、力学研究中发挥的巨大作用使代数越来越成为解决问题的有效工具。笛卡尔创立的解析几何则改变了数学的面貌,把原来被古希腊人割裂开来的几何、数、形重新结合在一起,并直接促进了微积分的诞生!

   
“无穷小量究竟是否为0”的贝克莱悖论在微积分草创时代确实带来了第二次数学危机,然而,微积分在科学研究、数学应用(计算)中显示了巨大的威力,依靠这个强有力的工具,地球人解决了无数数学和物理上的难题,也使得人们有信心为其打下坚实的数学基础。

 
 最终数学分析的基础依赖实数、实数依赖有理数、有理数依赖自然数的逐层构建,随分析的算术(计算)化,使微积分有了严格的基础。这个时期,计算又开始在数学的舞台上扮演重要的角色。


人类最早认识的是自然数。从引进零及负数就经历过斗争:要么引进这些数,要么大量的数的减法就行不通;同样,引进分数使乘法有了逆运算–除法,否则非常多实际问题也不可以解决。但是接着又出现了这样的问题,是否所有的量都能用有理数来表示?于是发现无理数就导致了第一次数学危机,而危机的解决也就促使逻辑的发展和几何学的体系化。

“这简直就是小学的知识,太简单了。”
“这等式,闭着眼睛都知道它是正确的。”
“这么简单的题,就不要侮辱我们的智商了,来,拿出点高难度的来!”

集合论、第三次数学危机和计算机计算时代的到来

   
 当我们进入高中后,遇到的第一个数学概念就是:集合。集合是现代数学的基石,并在现代数学中占据统治地位。集合论的开创者康托尔的超限数理论引发了数学界的大战,而这涉及数学证明的方法问题。数学中常用的证明方法有两种:构造性证明和存在性证明。

*     *
本书用了大量篇幅介绍这两种证明的区别与联系,此处不再赘述。集合论的诞生从本质上揭示了无穷的特性,给数学开辟了广阔的新领域,促使了现代数学的形成,并用集合论的语言重述或解决了代数、几何、分析中长期存在的问题,并引出了实变函数、抽象代数、拓扑学等众多现代数学分支。

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正当数学家们沉醉于数学绝对严格性的时候,罗素捅了大漏子,引发了第三次数学危机和新的大论战。以罗素为代表的逻辑主义、布劳威尔为代表的直觉主义和希尔伯特为代表的形式主义战作一团。1930年希尔伯特宣称:“把每个数学命题都变成一个可以具体表达和严格推导的公式,经过这样改造的数学所推导出来的结果无懈可击!” 

   
然而,富有戏剧性的是在他发出这一结论的前一天,在另一个研讨会上,哥德尔发表了一项声明,使得在场的希尔伯特的学生冯.诺伊曼立刻意识到希尔伯特的纲领是没法实现了。哥德尔不完全性定理的推出结束了三大派的论战,而数理逻辑成了最后的赢家。

   
哥德尔、丘奇、图灵、克莱尼用各自的方式定义了一种语言来描述算法,最终他们的定义被证明具有等价性,而今天我们可以说,它们分别定义了一种“编程语言”。而在哥德尔发表声明现场的冯.诺伊曼则最终造出了可以运行“编程语言”的计算机,并开启了计算机计算的时代。

     
今天,我们每个人都离不开各式各样的计算设备,而计算设备和算法本身也在发生着飞速的变化,阿尔法狗已经击败了最强的人类围棋手,“机器会思考吗?”这个问题也许会在不远的奇点处给出我们答案!

方程的解导致了虚数的出现,虚数从一开始就被以为是”不实的”。可是这种不实的数却能解决实数所不可以解决的问题,从而为自个争得存在的权利。

那么继续:

几何学的发展从欧几里得几何的一统天下发展到各种非欧几何学也是如此。在十九世纪发现了非常多用传统方法不可以解决的问题,如五次及五次以上代数方程不可以通过加、减、乘、除、乘方、开方求出根来;古希腊几何三大问题,即三等分任意角、倍立方体、化圆为方不可以通过圆规、直尺作图来解决等等。

(1/3)*2=0.6666666……(这题,没问题吧?)

这些否定的结果表明了传统方法的侷限性,也反映了人类认识的深入。这种发现给这些学科带来极大的冲击,几乎完全改变了它们的方向。比如说,代数学从此以后向抽象代数学方面发展,而求解方程的根变成了分析及计算数学的课题。在第三次数学危机中,这种情况也多次出现,尤其是包含整数算术在内的形式系统的不完全性、非常多问题的不可判定性都大大提高了人们的认识,也促进了数理逻辑的大发展。

那接下来,有趣的事情发生了:

这种矛盾、危机引起的发展,改变面貌,甚至引起革命,在数学发展历史上是屡见不鲜的。第二次数学危机是由无穷小量的矛盾引起的,它反映了数学内部的有限与无穷的矛盾。数学中也一直贯穿着计算方法、分析方法在应用与概念上清楚及逻辑上严格的矛盾。在这方面,比较注意实用的数学家盲目应用。而比较注意严密的数学家及哲学家则提出批评。只有这两方面取得协调一致后,矛盾才能解决。后来算符演算及δ函式也重复了这个过程,开始是形式演算、任意应用,直到施瓦尔兹才奠定广义函式论的严整系统。

(1/3)*3=0.9999999……(无限循环)

对于第三次数学危机,有人以为只是数学基础的危机,与数学无关。这种看法是片面的。诚然,问题涉及数理逻辑和集合论,但它一开始就牵涉到无穷集合,而现代数学假如脱离无穷集合就可以说寸步难行。因为假如只考虑有限集合或至多是可数的集合,那绝大部分数学将不复存在。而且即便这些有限数学的内容,也有非常多问题要涉及无穷的方法,比如解决数论中的非常多问题都要用解析方法。由此看来,第三次数学危机是一次深刻的数学危机。

(1/3)*3=1

1=0.999999……(无限循环)

大家看到没?相等了。不是1≈0.999999…吗?怎么变成了相等?

关于1=0.999999……还是1≈0.999999……,这两个之间,到底是怎么回事?……好吧,小编也不能给出解释。

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目前,对于这个问题,自然界有两个相反的说法,一个是0.999999循环,在自然界中,是根本不存在的,宇宙中没有任何一个实际物体,具有0.99…99这个数值……

另外一个猜测是:1的无穷次方等于1;而0.9999…..的无穷次方等于0,所以两者不相等……

很显然,这两个都是符合我们如今的数学认知,而且还相互矛盾的!这就更加让人难以明白,到底是等于,还是约等于,还是差距非常大!

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这算是数学的一个悖论!但是!现在不明白,不等于以后不明白!数学,是一个发展的学科!

小编在这里,跟大家分享一下,数学的三次危机,都是因为数学发展过程中不够完善,差点断送了数学这个学科。

 

无理数的发现

在公元前五世纪以前,数学学科毕达哥拉斯学派主张【“数”是万物的本原、始基】,而宇宙中一切现象都可归结为整数或整数之比,有理数理论成为占统治地位的数学规范……

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毕达哥拉斯

小编这里先复习一下【有理数】的概念,它是整数(正整数、0、负整数)和分数的统称。这个有理数,是那个时候的数学的理论基石,不可动摇。

结果,在公元前580~568年间,一个毕达哥拉斯学派内部的一个成员希帕索斯,有一天突然发现:边长为1的正方形的对角线长度(根号2)既不是整数,也不能用整数之比来表示。

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这一发现不仅严重触犯了毕达哥拉斯学派的信条,同时也冲击了当时希腊人的普遍见解,因此它直接导致了数学认识上的“危机”,动摇到了数学的根基。

这一悖论导致了Hipasus被毕达哥拉斯学派追杀,最终葬身大海的悲剧。

 

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希帕索斯的这一发现,史称“希帕索斯悖论”,从而触发了第一次数学危机。

为什么说危机呢?

因为这个数学悖论的出现,导致了毕达哥拉斯学派及以后的古希腊的数学家们对无理数的问题基本上采取了回避的态度,放弃对数的算术处理,代之以几何处理,从而开始了几何优先发展的时期。在此后两千年间,希腊的几何学几乎成了全部数学的基础。

也正是因为这次数学悖论的出现,证明了人的直觉和经验不一定靠得住,而推理和证明才是可靠的,这就导致了亚里士多德的逻辑体系和欧几里德几何体系的建立……

 

过了两百年,希腊数学家欧多克斯和阿契塔斯两人给出了“两个数的比相等”的新定义,建立起一套完整的比例论,其中巧妙避开了无理数这一“逻辑上的丑闻”,并保留住与之相关的一些结论,缓解了这次数学危机。

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然而,“世界万物皆为整数或整数比”的错误并没有解决,欧多克斯只是借助几何方法,直接避免无理数的出现。

 

直到1872年,德国数学家对无理数作出了严格的定义,无理数本质被彻底搞清,无理数在数学中合法地位的确立,才真正彻底、圆满地解决了第一次数学危机。

好了,这个第一次数学危机就讲到这里,回到1=0.999999……还是1≈0.999999……这个问题上来,就像这个根号2的出现动摇了当时的数学体系的情况一样,不相信根号2的存在……

而现在,有人不相信0.9999……无限循环不存在,不用担心,当未来数学发展到一定的程度时,它就存在了,也许到时候,会出现一个新的数学概念,1=0.999999……还是1≈0.999999这个问题,就像是当初的【无理数】概念一样……

贝克莱悖论

17世纪末,牛顿和莱布尼茨分别独立地建立了微积分方法,成为解决众多问题的重要而有力的工具,并在实际应用中获得了巨大成功。

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微积分是初等和高等数学的分水岭。莱布尼茨说:从人类有数学开始到牛顿时代,牛顿的贡献至少一半以上!尽管如此,从本质上说,还是科学技术的发展催生了微积分

 

17世纪,科学技术发展迅猛,向数学提出四类问题:瞬时速度问题;曲线的切线问题;函数极值问题;曲线长度和图形面积问题。以上四类问题吸引了大批数学家,产生了新的数学工具:坐标解析几何。

微积分的建立标志着数学从常数数学时代进入变数数学时代,推动了整个科学技术的发展。

例子:牛顿-莱布尼茨求导数

y = x2

y + dy = (x+dx)2 = x2 + 2xdx + (dx)2

从而有dy = 2xdx + (dx)2

两边除以dx得:dy/dx = 2x + dx

因为dx是无穷小量,故yˊ= dy/dx = 2x .

然而,微积分学产生伊始,迎来的并非全是掌声,在当时它还遭到了许多人的强烈攻击和指责,原因在于当时的微积分主要建立在无穷小分析之上,而无穷小后来证明是包含逻辑矛盾的。

 

1734年爱尔兰主教贝克莱提出贝克莱悖论:无穷小量 dx 既是0又不是0!

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无穷小量究竟是不是零?无穷小及其分析是否合理?这引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论。

如果解不到这个问题,所谓无坚不摧的微积分,便无立足之地,一切由微积分所得出来的完美的数学和物理学上的结果也付诸流水,所以数学史上称之为“第二次数学危机”。

 数学是讲究严谨的学科,数学家必不逃避问题,面对困难,接受挑战,是数学家的不朽格言。

化解这一悖论的重大科学发现是极限论,它使得微积分得以严密化。

1820年,另一位伟大的数学家柯西(1789–1857),重新建立微积分学的基础——数学分析。

数学分析是透过一套严格的“数学语言——ε–语言”来说明甚么是变量、无穷小和极限等的概念和定义,解决了甚么是既不是零又不是非零的问题,而这次的危机亦安然渡过,并为数学的大家庭增添了一位成员“数学分析”。

 

魏尔斯托拉斯进一步改进柯西的工作,给出极限的 e–d 语言定义:

如果任给 e > 0,存在一个正数 d,使得 | x – x0 | < d 且 x 1
x0 时,均有| f(x) – A | < e,则称f(x)在 x0 处有极限 A。

经过数位杰出数学家对于微积分学基础概念的重建后,第三次数学危机才终于得以解决。

 

罗素悖论

19世纪后期,高等数学(微积分),线性代数(多项式,矩阵,行列式),几何学(射影几何)已经发展得十分完备; 

一些新的数学分支,如泛函分析,抽象代数,拓扑学,等等,开始出现;

康托建立了集合论—–现代数学的基础

 

1900年庞加莱称:数学的严格性,看来直到今天才可以说是实现了。正在此时,罗素定义的集合R:所有不以自己为元素的集合所组成的集合R
= { x | x ? x } 。

 

这个漏洞就源于英国数学家罗素提出的一个悖论:所有不包含自身的集合的集合,它到底包不包含自身呢?如果它包含自身,那么它就不是不包含自身的集合,所以也就不是所有不包含自身的集合的集合的元素。

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伯特兰·罗素(Bertrand Russell,1872.5.18-1970.2.2)

如果它不包含自身,那它理应是所有不包含自身的集合的集合的一个元素。这样的一个集合,包不包含自身,都必将引发矛盾。

 

对于罗素悖论,有一个通俗的故事可以解释,就是“理发师悖论”。

 

最近,有一位手艺高超的理发师,他只给村上一切不给自己刮脸的人刮脸,那么,他给不给自己刮脸呢?

如果他不给自己刮脸,他是个不给自己刮脸的人,他应当给自己刮脸;如果他给自己刮脸,由于他只给不给自己刮脸的人刮脸,他就不应当给自己刮脸了。他应该如何呢?

罗素悖论一经提出便在当时的数学界与逻辑学界内引起了轩然大波,直接导致了第三次数学危机!

 

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弗雷格(Friedrich Ludwig Gottlob Frege,1848.11.8-1925.7.26)

由于这个悖论,费雷格的著作《算术原理》中的第五公理竟然是错的!他感觉算术的基础发生了动摇。

 

最后只能在自己著作的末尾写道:

“一个科学家所碰到的最倒霉的事,莫过于是在他的工作即将完成时却发现所干的工作的基础崩溃了。”

那么,这次危机是如何得到解决的呢?

 

事实上,为了解决罗素悖论,演化出逻辑主义,直觉主义,形式主义等数学学派,产生了集合论的公理化。人们注意到,必须对康托的朴素集合论加以限制,限制到足以排除悖论,同时保留所有有价值的东西。 

庞加莱说,我们建造了一个围栏来放养羊群,以防止它们被狼侵害,但我们不知道在围栏中是否已经有狼。

 

直到1931年,哥德尔提出了一系列不完备定理并予以证明:

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①任意一个包含一阶谓词逻辑与初等数论的形式系统,都存在至少一个命题:它在这个系统中既不能被证明也不能被证否。

 

②如果一个形式系统含有初等数论,当该系统自洽(所有公理都不互相矛盾)时,它的自洽性不可能在该系统内证明。

至此,这场关于数学基础的争论终于结束,同时也宣告了把数学彻底形式化的愿望是不可能实现的。

后记

数学是讲究严谨的学科,数学家必不逃避问题,面对困难,接受挑战,是数学家的不朽格言。

历史上的三次数学危机,虽然给人们带来了极大的麻烦,但是危机的产生使人们认识到了现有理论的缺陷,并不断去完善,由此,数学也会得到新的发展,甚至会有革命性的的变革!

 

事实上,悖论的产生往往预示着科学的发展,可以说,悖论是科学发展的产物,是科学发展源泉之一。

第一次数学危机使人们发现无理数,建立了完整的实数理论,欧氏几何也应运而生并建立了几何公理体系;

第二次数学危机的出现,直接导致了极限理论、实数理论和集合论三大理论的产生和完善,使微积分建立在稳固且完美的基础之上;

第三次数学危机,使集合论成为一个完整的集合论公理体系(ZFC系统),促进了数学基础研究及数理逻辑的现代性。

文  青果教育整理发布,转载请注明出处

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