美高梅棋牌游戏官网网站 战争风云 美高梅棋牌游戏官网网站对数可以延长人类寿命?

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人们会计算加法、减法、乘法和除法已经有好几千年的历史了。但是使用+、-、×、÷等数学符号却是近几百年的事。那么,这些符号是由谁创造出来的呢?
加、减号,是15世纪德国数学家魏德曼首创的。他在横线上加一竖,表示增加、合并的意思;在加号上去掉一竖表示减少、拿去的意思。
乘号,是17世纪英国数学家欧德莱最先使用的。因为乘法与加法有一定的联系,所以他把加号斜着写表示相乘。后来,德国数学家莱布尼兹认为“×”易与字母“X”混淆,主张用“·”号,至今“×”与“·”并用。
除号,是17世纪瑞士数学家雷恩首先使用的。他用一道横线把两个圆点分开,表示分解的意思。后来莱布尼兹主张用“:”作除号,与当时流行的比号一致。现在有些国家的除号和比号都用“:”表示。
等号,是16世纪英国学者列科尔德创造的,他用两条平行而又相等的直线来表示两数相等。
大于号,是17世纪的数学家哈里奥特创立的。
这些数学符号既简单,又方便。使用它们,是数学上的一大进步。
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数学是难的。有三个方面的原因。

在了解了自然底数e(Base of the Natural
Logarithm)之后,让我们再看看自然对数ln (Natural
Logarithm)。如果还不了解自然底数e及连续复利模型,可以先看看《自然底数e怎么就“自然”了?》。自然底数和自然对数都有其固有的数学美感,只要有一双善于发现的眼睛,总能在生活中发现它们的身影,见文章《飞蛾真的是因为趋光所以扑火?》。

第一:学习数学的中枢是人大脑的痛苦中枢。也就是说,感受针刺这样的疼痛与处理数字是同大脑的同一片区域。有人学数学就头痛。这导致了人对数学天生的逃避反应,越逃避,自然越难学。我见过业余练习书法的,学习跳舞的,学写诗的,却很少见到业余时间学习数学的。

数学的基本运算可分为三个等级。第一级为加、减运算,虽然加减法的概念在公元前20世纪的古埃及数学家艾哈迈斯(Ahmes)的纸草书中就有体现,但今天的加号“+”和减号“-”,最早有史料记载的,是在15世纪末的德国人的手稿中,现保存于德国德累斯顿(Dresden)图书馆。

第二:数学的领域很广泛。一般的人不知道从哪里开始入手。

后来,人们发现在遇到“连加”或“连减”时,加减法的效率很低,于是就发明了第二级运算——乘法和除法以及与此对应的乘号和除号。在西方,“×”被称为“圣安德鲁斜十字(St.
Andrew’s
Cross)”。安德鲁是耶稣的12门徒之一,由于其被钉死在斜十字架上,因此,斜十字架也成为圣安德鲁斜十字。现代意义上的“×”号最先出自于1631年英国数学家奥特雷德(William
Oughtred)的《数学之钥》中。

第三:数学的符号混乱。这是本文主要要说的。因为数学体系内部的混乱,导致的难学。要学数学,必须理清楚各种混乱的符号是什么意思。如果没有接触过数学的人,看到那些符号,会惊叹:这是怎样的黑话呢?

1698年,莱布尼兹(Gottfried Wilhelm
Leibniz)在其给瑞士数学家雅各比·伯努利(Jacob
Bernoulli)的信件中首次使用“·”表示乘法,以此来避免乘号“×”和字母“X”的混淆。不过,后来在向量代数中,用“·”表示“数量积”或“内积”,而“×”则表示“向量积”或“外积”,这就算是另一种区分方法了。

混乱的数学符号之一:乘号与乘法

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你问我,数学中一共有多少种乘法,我一定说不清楚。好像有数字的乘法,点乘,叉乘等等,大约还有卷积之类。只能佩服最早的数学家,是如此的偷懒。连一个新的运算符号都懒得去发明。把可怜的乘号不断的重载。

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) (图片来源: Wikipedia)

如果你还记得,小学的时候,学数学,乘号是用一个叉,类似 这样 3 ✗ 4 = 12
。当时有的老师要求很严格,不能随意交换被乘数和乘数。例如,上面的式子是计算“单价3元,4个东西的总价格”。如果“单价4元,3个东西”,一定要写成
4 ✗ 3 =12 。现在的老师不再这样严格的要求了。

今天用的除号“÷”称为“雷恩记号”。它是瑞士数学家雷恩(Rahn)在其1659年出版的一本代数书中首先使用,在1688年,这本书被译成英文,这个符号也随之通用起来。

到了初中,老师忽然让省略数字和字母之间的乘号,或者在两者之间打一个点,类似
3a 或者 3 ⋅ a
这样。到了高中,有一天,物理老师隆重推荐点乘和叉乘。从此,乘法的世界开始混乱了。他口中的向量、标量唬退了一大波的数学爱好者。

但人们还不满足,因为人们遇到了“连乘”和“连除”,即“乘方”。而且,乘方有两种逆运算,分别是“开方”和“对数”。这是第三级运算与加减乘除的不同之处。

到了大学,接触了矩阵的乘法,毕业后,接触了四元数,才知道,有时候,乘法真的不能交换被乘数和乘数啊!于是,感谢起一年级的数学老师来,她太有先见之明了。

法国数学家笛卡尔(Descartes)在1637年定义了现代乘方符号,即在字母或数字的右上角用小的阿拉伯数字表示指数。1732年卢贝(Loubere)首次使用根号来表示开方,并逐渐流行起来。

乘法记号的产生,本来是为了把加法写的紧凑。那是乘法最初的含义。随着历史的发展,乘号被不断的重载。

“开方”的诞生似乎顺理成章,但是乘方的另一种逆运算——“对数”,就有些“难产”了。

从最初的意义上讲,乘法中,乘数应该必然是整数,因为乘数是用来计数相同的加数个数的。为了简洁的书写加法,乘法才诞生的。

斯蒂菲尔(Michael
Stifel)是德国德国哥尼斯堡大学的数学讲师,1544年,他写了一本书叫《整数的算术》,在这本书中他应用“一一对应”的方法几乎造就了一座数学丰碑。

后来,有了除法。再后来,乘数就可以是分数了。

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再后来,相同的数连乘,被紧凑的写成乘方。

Michael Stifel (1487-1567) (图片来源: Wikipedia)

后来,有了开方,以及开不尽的情况。无理数作为有理数的极限,诞生了。

斯蒂菲尔在书中写道:“关于整数的这些奇妙性质,可以写成整本整本的书!”下面就是他书中列出的两列数字:

于是,乘数顺理成章,可以是无理数。数的概念在扩张,乘法就随着扩张。乘号,就一直被重载。不但可以用来乘正数,还可以用来乘负数。负数乘负数的结果是一个正数,这个在当时是直觉下的硬性规定。没有人能解释清楚为什么。

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上面一切的重载都很自然,基本没有什么不协调的地方。

可以看出,上一列其实就是通项公式为2n的等比数列(n为整数),他称其为“原数”;下一列则是一个由整数构成的等差数列,他称其为“代表数”,德语是Exponent,也可译为“代言人”。

当数变成复数以后,混乱发生了。而且发生在一瞬间。同时出现了三种乘法:复数可以和复数相乘,复数表示的向量可以进行点乘,向量还可以进行叉乘。如果不是如我这样的学霸,必然瞬间晕倒。

他发现,两个“原数”相乘等于“代表数”相加后得到的“代表数”所对应的“原数”“原数”相除等于“代表数”相减后得到的“代表数”所对应的“原数”。即,利用这两列数可以把较为复杂的乘除法变成较为简单的加减法。

到底发生了什么?有时候打一个点,有时候画一个叉,有时候什么都不写,居然有三种不同的含义?表示向量的时候,在字母头上加一个箭头;表示共轭的时候,在头上加一条横线;绝对值符号表示复数的模我没有意见,可头上加横线,从前不是表示平均的吗?x拔怎么就变成了z的共轭。否定命题也是头上加横线。补集也是头上加横线。头上加横线怎么就这么受欢迎呢?

其实,在我们看来,这个结论没有什么神奇之处,因为所谓的“代表数”其实就是“原数”以2为底的对数。但是在当时,这种计算方法思想是开创性的。

不用说,“共轭”两个字,又吓跑了一堆人。

不过遗憾的是,在斯蒂菲尔的那个年代还没有分数指数的概念,因此在处理指数不是整数时遇到了巨大的阻力,最后,他放弃了对这种计算方法的进一步研究,而只是停留在了整数上。不过,斯蒂菲尔也并非全然无功,他的前驱性工作,成为纳皮尔发明对数的“巨人肩膀”。

乘号的混乱,究其原因,是数学家们固执于中缀表达式导致的结果。自从有了函数,大家完全都可以说人话了。假如这样写,如
lisp的 S 表达式一样:

约翰·纳皮尔(John
Napier)是苏格兰数学家、物理学家兼天文学家。1614年,其在爱丁堡出版了《奇妙的对数定律说明书》中提出了对数的概念。

(mul a b)
(cross a b)
(dot a b)

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岂不是很好分别?

John Napier (1550-1617) (图片来源: Wikipedia)

所有的符号写在前面,换成一个通俗易懂的函数名。
加法可以写成
(add a b)
甚至换成中文
(加 甲 乙)都是好懂的。

“看起来在数学实践中,最麻烦的莫过于大数字的乘法、除法、开平方和开立方,计算起来特别费事又伤脑筋,于是我开始构思有什么巧妙好用的方法可以解决这些问题。”

如果说,单纯用英文就够了,那么,为什么一定要用希腊字母呢?
一定要用的话
(Π a b)也可以表示乘法了。
(∑ a b)也可以表示加法了。

–约翰·纳皮尔,《奇妙的对数定律说明书》

一方面,数学越来越抽象;一方面,书写越来越紧凑。数学符号都是数学家拍脑门临时想出来的,除了莱布尼兹会慎重考虑。你一定见过

符号头上和脚底都写满东西的时候,这就是所谓的紧凑了。紧凑的好处是,对熟悉的人来说,一眼就看出来整个式子是某种模式在重复;紧凑的缺点就是,从来没有学习过的人,看它就想是一团乱码。

作为数学家、物理学家兼天文学家,他在计算各种行星轨道数据时,也被浩瀚的计算量所折磨,因此很痛恨这些乏味的重复性工作。为了解决这一问题,他用了20年的时间,进行了数百万次的计算,发明了对数和对数表,听起来很矛盾,一个不想做重复工作的人结果做了20年重复性工作。但是,他的努力确实为后人减少了大量的重复性工作,大大减少了数学家、天文学家的计算量,由此可见,这在天文学界算得上是一项伟大的发明了,看看名人们对其的评价就能看出其重要性。

抽象和紧凑的结果就是,学习数学的过程中:

对数的发明、解析几何的创始和微积分的建立是17世纪数学的三大成就。

如果你碰到一个古怪的符号,那么,它必定会有及其深远的含义,例如拓扑学上奇怪的花体字母,你必须搞懂与其相关的每一层的含义,才知道这个字母的含义;

——恩格斯

如果你碰到一个看似普通的符号,它可能会有与过去不同的含义,例如刚才说的点乘;

对数的发现,因其节省劳力而延长了天文学家的寿命。

对一个符号,必须联系上下文才能知道意义,例如
这个符号:^,有时候用来表示一种特殊的乘法,有时是转置一个矩阵,有时表示指数函数的运算,有时表示按位异或,有时候表示”并且”,有时表示
Ctrl 键,说它是 兰布达λ
又太小,说它是帽子,又常常不写在头顶。该怎么读要看当时的情况。大约数学符号太多,键盘又太小,于是,不知道怎么写的情况下,都用这个超级小的
^ 代替。

——拉普拉斯

数学本来就很难,诸如此类容易引起误会的地方还特别多。某些时候,一个字母的四个角落都被写上了数字,然后各有不同的含义,比字典的四角号码还难用。

给我空间、时间及对数,我就可以创造一个宇宙。

写在两个字母之间的圆点,打高一些和打低一些,含义是不相同的。

——伽利略

字母的头顶上可以加一个尖尖的帽子,或者弧形的帽子,或者一个圆点,或者两个圆点,或者一个小圆圈;字母的右上角可以加任何你能见到的东西,一个两个或者三个小撇,一个带括号的数字,不带括号的数字,甚至类似一篇文章那么长的公式。绝对值的符号可以打到N层。

对数使得手算变得简单而且快多了,也因此为后来许多科学进步开启了大门。那么如何理解对数?一个直观的解释是:对数指的是到达某一数量所需要的时间。这里先介绍自然对数。即以e为底的对数。

总结:数学难学的原因是行(黑)话太多。

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例如,有一个土豪投资的项目正好满足年利率为100%的连续复利。但是这个土豪小学文化,数学水平也就加减乘除,假设你是这个项目的负责人,想劝说土豪再多投资,如果跟他说什么连续复利、什么100%、什么指数增长,土豪听不懂啊,你再这么说下去感觉在欺负人啊!土豪就发话了:“别整那些没用的,你就告诉我,我的钱啥时候能涨到10倍,100倍,1000倍?”你有些发懵了,一般人不怎么问啊,不都是问一年后是多少,两年后是多少之类的吗?所以这里的问题就是知道时间求数量的逆向问题——知道数量求时间。土豪就是土豪,有的是钱,他只想从翻倍时间的长短来判断哪项投资赚得快。因此,这里就要用到对数,在这样一个年利率为100%的连续复利增长模型下,如果你想得涨到你本金10倍,你需要等待的时间其实就是ln(10)≈2.302年,到100倍所需时间就是ln(100)≈4.605年,到1000倍所需时间就是ln(1000)≈6.907年。

e与ln

e和ln好像是孪生一对,e^x表示单位数量经过x个单位时间增长后的数量(在单位时间增长率为100%的连续复利情况下)。那么在单位时间增长率为50%的连续复利情况下,增长4年和单位时间增长率为100%的连续复利情况下增长2年是一样的。因为e^x=e^rate·time=e^time=e^time。所以,可以看出,不管利率是多少,通用的连续复利模型e^rate·time都可以描述。

ln(x)表示单位数量增长到x个单位数量所需要的时间(在单位时间增长率为100%的连续复利情况下)。ln正好与e相反,e^x表示输入时间得到数量,ln(x)表示输入数量计算达到这么多数量所需时间。

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自然对数的计算

有人可能会觉得对数这种算法很奇怪,不知道为什么它能够将乘法转变为加法,把除法转化为减法,但如果掌握其“数学内涵”的话,就好理解了。

先看ln(1),它是多少呢?我们都知道答案是0,因为其数学内涵是:单位数量增长到单位数量的1倍时所需要的时间,因为现在就已经是现在数量的1倍了,所以无需再给予时间让它增长了。

那么,如果是分数呢?例如,得到现在数量的1/2需要多久。我们知道ln(2)表示在单位时间增长率为100%的连续复利情况下翻倍所需要的时间。那我们取反,就得到了退回现在的一半所需要的时间(如果是等待所花费的时间为正,如果是“时光倒流”的话,时间则为负,是不是很直观?!)。因此ln(0.5)=ln(2)-1=-ln(2)=-0.693

那么能不能对负数取对数呢?答案是否定的,因为一个给定的数量不能增长为一个负数也无法退回成为一个负数,再怎么等待下去或者再怎么“时光倒流”,这种情况也不可能发生,所以没有定义。

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为了增长到30倍,我们可以等ln(30)个单位时间,也可以先等增长3倍所需要的时间ln(3)再等个增长10倍所需要的时间ln(10),效果是一样的。因为在增长率不变的连续复利情况下,给定一个初始值,那么增长到初始值的x倍所需要的时间是一定的,与初始值的大小并没有任何关系。即ln(a*b)=ln(a)+ln(b)。

那么ln(5/3)呢,意味着计算增长到现在的5倍所需时间减去以5倍为基数退回到其1/3所需时间。所以有ln(a/b)=ln(a)-ln(b)。

相乘增长量=时间相加

相除增长量=时间相减

但是对于增长率不是100% 的连续复利模型呢?

其实同样适用。

例如ln(30)≈3.4可以看为是在单位时间利率100%连续复利情况下变为原来的30倍所需要的时间为3.4个单位时间。

由于e^x=e^rate·yearse^100%·3.4=30

当我们计算单位时间利率为5%,增长到30倍所需时间时。其实只要保证rate·time=3.4即可。即0.05·time=3.4,所以time=68

72法则

这是一种快捷算法,因为实际中银行的利率不可能是100%
,但是我们经常想知道本金到底什么时候能够翻倍。而对于利率为100%
的连续复利,如果要翻倍就需要ln(2)=0.693个单位时间。

那么对于小利率呢,为了方便计算现将利率乘以100,但注意是百分数。那么0.693也要乘以100,等于69.3。

rate·time= ln(2),可知time= 69.3/rate

但是69.3并不太好分,所以我们取一个相近的,72,因为其可以被2、3、4、6、8整除。因此,翻倍所需时间大约是
72/rate,这就是“72”法则。当然,如果想计算增长到3倍的话那就是“110”法则了。

Reference

[1] 陈仁政,不可思议的e [M], 北京,科学出版社

[2] Gottfried Wilhelm Leibniz,

[3] Michael Stifel,

[4] John Napier, 

[5] Napier’s bones, 

[6] Demystifying the Natural Logarithm (ln),

(Sample picture source:betterexplained.com)

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